Trong học toán, việc tạo được thói quen chủ động tìm tòi, khai thác, phát triển các bài toán sẽ giúp người học hiểu sâu sắc kiến thức đã học, phát triển tư duy sáng tạo và tiếp thu tốt những kiến thức mới.

* Chúng ta sẽ bắt đầu từ một bài toán quen thuộc.

Bài toán 1 :

Cho ΔABC có Đ B = 90^o ; đường cao BH. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BH và HC. Chứng minh : AM vuông góc với BN.

Lời giải :

Từ giả thiết ta có : MN là đường trung bình của ΔHBC (hình 1) => MN // BC, mặt khác BC vuông góc AB => MN vuông góc với AB.

Xét ΔABN có MN vuông góc với AB ; BM vuông góc với AN => M là trực tâm của ΔABN => AM vuông góc với BN (đpcm).

* Có rất nhiều hướng phát triển bài toán 1, cho ta những bài toán mới khá thú vị. Từ suy nghĩ nếu tạo được đường thẳng song song với AM hoặc BN thì đường thẳng đó sẽ tương ứng vuông góc với BN hoặc AM, ta cho thêm điểm K mà B là trung điểm của KC (hình 2), dễ dàng nhận thấy BN là đường trung bình của ΔCKH => BN // KH => AM vuông góc với KH. Ta có bài toán sau :

Bài toán 2 :

Cho ΔABC có góc B = 90^o ; đường cao BH. Gọi M là trung điểm của BH và K là điểm đối xứng với C qua B. Chứng minh : KH vuông góc với AM.

Lời giải :

Gọi N là trung điểm của HC, theo chứng minh trên, ta có đpcm.

* Hoàn toàn là bài toán 2 nhưng với cách phát biểu khác đi, ta có bài toán 3.

Bài toán 3 :

Cho ΔABC cân tại A, đường cao AH. Hạ HI vuông góc với AC, M là trung điểm của HI. Chứng minh rằng BI vuông góc với AM.

* Tiếp tục phát triển theo hướng trên : tạo ra đường thẳng song song với AM, đường thẳng đó ắt vuông góc với BN.

Bài toán 4 :

Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của B trên AC, I và N lần lượt là trung điểm của AD và HC. Chứng minh rằng BN vuông góc với IN.

Lời giải :

Gọi M là trung điểm của BH (hình 3).

Ta có AM vuông góc với BN (bài toán 1). Ta còn phải chứng minh AM // IN, thật vậy :

Do MN là đường trung bình của ΔHBC nên MN // = 1/2BC , mặt khác, ABCD là hình chữ nhật và I là trung điểm của AD nên IA // = 1/2 BC . Do đó IA // = MN => MNIA là hình bình hành => AM // IN, bài toán được chứng minh xong.

* Bài toán 4 còn nhiều cách giải khác. Kết hợp bài toán 3 và bài toán 4 ta có bài toán mới khó hơn chút xíu.

Bài toán 5 :

Cho ΔABC cân tại A, đường cao AH. Dựng hình chữ nhật AHCK ; HI vuông góc với AC. M và N lần lượt là trung điểm của IC và AK. Chứng minh rằng MN vuông góc với BI.

Lời giải :

Gọi J là trung điểm của HI (hình 4). áp bài toán 3 ta có BI vuông góc với AJ ; mặt khác, theo chứng minh của bài toán 4, tứ giác AJMN là hình bình hành và AJ // MN, vậy : MN vuông góc với BI (đpcm).

* Tương tự như bài toán 4 (dựng hình chữ nhật ABCD rồi tạo AM // IN), ta sẽ tạo EF // BN để được bài toán sau.

Bài toán 6 :

Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của B trên AC ; E, F, M lần lượt là trung điểm của AB, DH, BH. Chứng minh rằng AM vuông góc với EF.

Lời giải :

Gọi N là trung điểm của CH (hình 5). áp dụng chứng minh tứ giác AMNI là hình bình hành (bài toán 4), ta chứng minh được tứ giác BEFN cũng là hình bình hành, => EF // NB.

Mặt khác BN vuông góc AM (theo bài toán 1). Vậy ta có AM vuông góc với EF .

* Lại kết hợp bài toán 4 và bài toán 6, cho ta một kết quả khác.

Bài toán 7 :

Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của B trên AC ; E, F, M, N lần lượt là trung điểm của AB, DH, HC, AD. Chứng minh rằng EF vuông góc với MN.

Lời giải :

Gọi I là trung điểm của BH (hình 6).

Lần lượt theo các bài toán 1, 4, 6 ta có các kết quả sau : AI vuông góc với BM, AI // MN, BM // EF => EF vuông góc với MN (đpcm).

* Tiếp tục khai thác, phát triển bài toán 1 chắc chắn còn nhiều điều thú vị. Qua đây, tác giả mong muốn các bạn luôn có thói quen chủ động tìm tòi, khai thác, phát triển các bài toán, thông qua đó tự rèn luyện tư duy và tích lũy được nhiều kiến thức bổ ích. Chúc các bạn thành công.